Где смотреть?

[imfromjasenevo2026]

Решение дифура первого порядка убегает на бесконечность за конечное время. Переменные не разделяются.
Хотелось бы получить какую-то оценку характерного времени "убегания", не решая уравнения.
Cуществует ли какая-то теория на этот случай?

Comments

[xaxam.livejournal.com]

Дифур первого порядка? Напишите dt через фазовую переменную, и да будет вам щасьтя ;-)

Пошлите егерями дифур, вдруг получится сказать что-то умнее...

[imfromjasenevo.livejournal.com]

вообще-то второго, но убегает уже и первая производная, а в само уравнение функция не входит, т.е. можно считать, что первого
(и время входит:()

совета не понял, если честно, что такое егеря тоже не знаю, хотя наверно стоит знать.

[xgrbml.livejournal.com]

Егеря - это средства доставки дифура.

Я занес было руку, чтоб написать то же, что Хахам, но печенкой почувствовал, что вопрос не следует понимать буквально :)

Ну напишите уравнение-то, в TeX'овских обозначениях, скажем.

[imfromjasenevo.livejournal.com]

C_1<0, и порядка 1 по модулю.
С_2>0 и порядка 1.
UPD
Задача Коши с x(0)=0, т.е. особенность из-за 1/t - устранимая.
Решение убегает в минус бесконечность за конечное время это ок, плохо, что не ясно когда не решая, а хотелось бы.

[xgrbml.livejournal.com]

Ой. Тут я точно пас.

[imfromjasenevo.livejournal.com]

А есть методы установить, где убегает такое на бесконечность, не решая уравнения?

\frac{\partial x}{\partial t}=x^3

[a-shen.livejournal.com]

ну трудно сказать, что значит "не решая" - можно заметить, что правая часть оценивается снизу правой частью другого уравнения, у которого решение уходит на бесконечность. Скажем, при x=1/t скорость убегания пропорцональна квадрату x, а здесь больше

[imfromjasenevo.livejournal.com]

спасибо

[a-shen.livejournal.com]

собственно, и в исходном уравнении (если забыть про t и посмотреть с какого-то места, где x уже велико) третий член с большим запасом растёт (логарифм забивает первый, и получается даже x^3, а достаточно было бы даже x^{1.01}.

[imfromjasenevo.livejournal.com]

спасибо, мне более менее понятно, как это получается, что убегает решение.

Просто физический интерес представляет находить точку в решении, которая становится бесконечной, численно это можно можно делать конечно.
Я знаю, что не представляет труда найти первые члены асимптотического ряда решения около нуля x(t)=2*C_1*t+(-C_2*C_1^2/2+C_1^3)/2*t^3+....
А хотел бы понять, можно ли построить асимптотику с со стороны точки, где решение уходит в бесконечность.

[xaxam.livejournal.com]

https://imfromjasenevo.livejournal.com/1263393.html?thread=4769313#t4769313

[imfromjasenevo.livejournal.com]

большое спасибо

[xaxam.livejournal.com]

У вас главная асимптотика - кубическая на бесконечности по иксу. Уравнение \dot x=x^3 - с разделяющимися переменными, явно интегрируется, решение "взорвётся" в момент, определяемый (для асимптотического уравнения) начальным условием x(0)=X, "взрыв" x=\sqrt{-3/(t-A)} в точке А, которая находится из этого уравнения.

При переходе обратно к "полному" уравнению надо смотреть на начальный участок, где (я не проверял, почему особеннось t=0 устранима). Например, взять какое-нибудь разумное значение, скажем, x=2, и посмотреть, сколько времени надо "полному" уравнению, чтобы выйти на этот уровень. А уж момент взрыва от начального значения x=2 до бесконечности - константа, определяемая по "асимптотическому" уравнению, как я написал выше.

Если хотите более точный ответ - замените "пороговое значение" на более высокое (x=10 - с большим запасом). В любом случае выход "на порог" - конечное вычисление, которое вы можете найти с любой точностью любым методом, хоть численно, хоть в виде ряда. А момент, когда решение взорвётся после этого порога, - гораздо точнее будет предсказываться "асимптотическим" уравнением.

[imfromjasenevo.livejournal.com]

еще раз огромное спасибо

[xaxam.livejournal.com]

Пошлите мне дифур любым доступным способом (егеря да ментики да соколы-орлы - это фигура речи была такая ;-). Дифур второго порядка, да ещё неавтономный - это уже серьёзно...

[greygreengo.livejournal.com]

Ищи на третьей планете системы медуза адиабатические инварианты.