помощь зала

[imfromjasenevo2026]

К слову, а вот модуль градиента гармонической функции на границах достаточно гладкой области таки максимален или это надо специально доказывать? (Граничные условия второго рода на саму функцию и все дифференцируемо сколько нужно раз).
Вроде бы очевидно, что это так, производные гармонической функции тоже гармонические функции и поэтому иначе быть не может, или я что-то опускаю?

Comments

[greygreengo.livejournal.com]

Возьмите любой курс теории функций комплексной переменной - там есть доказательство.

[imfromjasenevo.livejournal.com]

у меня трехмерная задача

[greygreengo.livejournal.com]

Тогда теорема Остроградского-Гаусса вам в помощь. Особенностей внутри области много?

[imfromjasenevo.livejournal.com]

нет никаких особенностей, просто решение уравнения Лапласа с граничными условиями второго рода. Хочется какую-то оценку решения иметь, не имея решения.

[greygreengo.livejournal.com]

Модуль функции деленный на квадрат характерной для задачи длины. В электродинамических задачах такие оценки сплошь и рядом. Хотя, это, безусловно, не математическая строгость.

[imfromjasenevo.livejournal.com]

ну, у меня массоперенос и характерных размеров два, а так нечто подобное, нужно только обосновать для сведения задачи к обыкновенному дифференциальному уравнению.

[greygreengo.livejournal.com]

Для двух масштабов получается доверительный интервал между максимумом и минимумом.
А симметрии позволяют сделать разделение переменных в задаче? Ну, там сведение к осевой или сферической сразу облегчает жизнь расчетчика.:)

[imfromjasenevo.livejournal.com]

нет, в данном случае разница масштабов столь большая (три порядка), что следствий вагон самых разных, некоторые хорошо обосновываются. не хочется здесь описывать всю задачу все же.
Но спасибо.

[greygreengo.livejournal.com]

Вам тоже спасибо. С наступающим Новым годом и удачи!

[ugly-troll.livejournal.com]

умён, глыба

[imfromjasenevo.livejournal.com]

не травите

[ugly-troll.livejournal.com]

я же тролль, это моя обязанность, а то никто не покормит )

[xgrbml.livejournal.com]

Правда. Максимален. Ссылки, где буквально это написано, на память не знаю.

Д-во такое: локалбно представим гармонич. функцию как вещественную часть голоморфной функции f. Тогда млжуль градиента паве модулю проихводнлй функции f (сраз следует из уравнений Коши-Римана). Ну и применяем принцип максимума модуля.

[imfromjasenevo.livejournal.com]

у меня трехмерная область, но в общем мне даже не доказательство особо нужно, а нужно махание руками, что градиент ограничен в области и соответственно можно сделать оценку малости изменения концентрации.


UPD:
Вообще-то нужна более сильную вещь показать, допустим задан поток на всех границах трехмерной области (известно, что поток ограничен и известен его максимум), можно ли доказать, что максимальный градиент в области будет где-то на границе и он будет не больше, чем максимум потока на границах.
UPD2:
Мне для моей спекуляции достаточно, чтобы максимальный градиент в области был порядка максимального потока на ее границе.
(не сомневаюсь, что это так, но хотелось бы знать путь к доказательству)

[(Anonymous)]

Что-то у меня есть сомнения. Обычно такие вещи получаются из принципа максимума для эллиптических уравнений. В трех-мерном пространстве модуль градиента не удовлетворяет никакому уравненияю второй сттепени. Про третью - не помню, четвёртой точно есть такое уравнение.